Algèbre linéaire Exemples

$y = \frac{- 2}{3} x + 4$ , $2 x + 3 y = 12$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{3} x + 4, 2 x + 3 y = 12$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 4, 2 x + 3 y = 12$

Étape 1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 4, 2 x + 3 y = 12$

Étape 2

Ajoutez $\frac{2 x}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y + \frac{2 x}{3} = 4, 2 x + 3 y = 12$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 12 \end{array}]$

Étape 4

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{3}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{3}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} & \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 2 & 3 & 12 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 6 \\ 2 & 3 & 12 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 6 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 (\frac{3}{2}) & 12 - 2 \cdot 6 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + \frac{3 y}{2} = 6$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y}{2} = 6 - x$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (6 - x)$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (6 - x)$

Étape 6.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (6 - x)$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (6 - x)$

Étape 6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (6 - x)$

Étape 6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{3} (6 - x)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (6 - x)$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} \cdot 6 + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \cdot 2 + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = 4 + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 6.3.2.1.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = 4 - \frac{2 x}{3}$

Étape 6.4

Remettez dans l’ordre $4$ et $- \frac{2 x}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 4$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - \frac{2 x}{3} + 4)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{2 x}{3} + 4 \end{array}]$